[Math] 집합과 수치, 확률

이번에는 집합간의 관계를 이용하여 배우게 되는 다양한 해석을 일부 적어본다.

혹시나 필요에 따라, 앞서 정리본의 내용이 궁금하다면 링크를 확인해 보아도 좋다.

1. [Math] 집합과 원소 (Set & Element) : 원소와 집합, 원소나열법, 조건제시법
2. [Math] 집합의 관계 1 : 벤다이어그램, 합집합, 교집합, 차집합, 여집합
3. [Math] 집합의 관계 2 : 포함관계, 부분집합, 곱집합, 집합족
4. [Math] 집합의 관계 3 : 진부분집합, 전체집합, 공집합, 여집합, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간의 법칙

우선 임의의 집합 U, A, B 를 위와 같이 정의해 보았다.

맨 처음 보이는 n(A)=3 이 부분을 먼저 살펴보도록 하자.

집합내 원소의 갯수

어떠한 집합 A에 대하여 원소의 갯수를 n(A) 라고 표현한다.

학교에서 반장 부반장을 선발한 경험이 있을 것이다.

예를 들어 어떤 시골 분교가 있다. 학생 총 인원이 5명뿐이다. 전체집합 U는 학생들의 출석번호이다.

자, 반장/부반장 투표를 하자. 집합 A는 송지연이라는 친구를 반장으로 투표한 학생들의 출석번호이다. 반면, 집합 B는 박종현이라는 친구를 부반장으로 투표한 학생들의 출석번호이다.

지연이를 학급 반장으로 투표한 학생들의 숫자는 몇명인가? 

 3명

또, 종현이를 학급 부반장으로 투표한 학생들의 숫자는 모두 몇명인가?

 3명

이것이 우리가 집합내의 원소 갯수가 모두 몇개일까 고려하는 것이며 기호로 n(A) = ? 형태로 나타낸다.

확률

일어날 모든 경우의 수에서, 특정한 사건이 발생할 경우의 수.

경우의 수를 원소로 갖는 집합 A에 대하여 확률을 P(A) 라고 표현한다.

앞서 반장 선거를 실시하였다.

지연이는 총 몇표를 받았는가? 3표이다.

시골 분교의 총 학생수는 몇명인가? 5명이다.

이 시골 분교에서 지연이를 반장으로 투표한 학생들의 비율은 학생구성원 대비 몇 %일까?

 3/5 이므로 대략 60%의 학생들이 지연이가 반장이 되기를 바란다.

그렇다면, 지연이가 반장이 되기를 바라면서 동시에 종현이가 부반장이 되기를 바라는 학생의 수는 몇명인가?

 출석번호 1번이 동시에 두 사람에게 투표하였으므로, 1명이다.

 또는 (전체학생) - (반장투표:지연) - (부반장투표:종현) = -1 이므로, 총원이 모두 중복없이 투표하였을 경우에는 최소 1명이다.

이해를 돕기위해 일어난 사건에 대해 정리를 하였고, 이를 눈으로 보면서 셈을 하고 있다.

실제로 확률은 일어날 미래의 일이다. 이미 일어난 일들을 기반으로 추리하고, 예측하는 것이다.

그리고 그 예측은 모든 경우의 수를 원소로 갖는 집합을 통해 가능하게 된다.

조건부 확률

어떤 사건이 발생했을때, 이어 어떤 사건이 발생할 확률이다. 전제조건에 따라 생겨날 확률을 구한다.

조건부 확률은 두가지 확률을 함께 고려한다.

조건확률과 확인하고 싶은 확률이다.

시골분교에서 지연이를 반장으로 뽑은 학생이면서 동시에 종현이를 부반장으로 뽑은 학생일 확률은 어떻게 될까?

1) 자, 시골분교에서 지연이를 반장으로 뽑은 학생일 확률은 어떻게 될까? 3/5

2) 그렇다면 지연이를 반장으로 종현이를 부반장으로 투표한 학생일 확률은 어떻게 될까? 1/5

2) 를 1) 로 나누는 형태를 조건부 확률이라고 한다.

모든 조건부 확률이 이런 형태는 아니지만, 기본적인 구조는 이렇게 된다고 먼저 알고 가면 좋을 것이다.