[Math] 집합의 관계 3

이번에는 진부분집합과 그 갯수, 전체집합과 공집합. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙과 드모르간의 정리를 적어본다.

혹시나 필요에 따라, 앞서 정리본의 내용이 궁금하다면 링크를 확인해 보아도 좋다.

1. [Math] 집합과 원소 (Set & Element) : 원소와 집합, 원소나열법, 조건제시법
2. [Math] 집합의 관계 1 : 벤다이어그램, 합집합, 교집합, 차집합, 여집합
3. [Math] 집합의 관계 2 : 포함관계, 부분집합, 곱집합, 집합족

이미 벤다이어그램을 설명하면서 정리를 해보았던 부분이다.

다시 리마인드해보자.

기준이 모호하거나 사건의 정의가 불명확하고 조건이 두루뭉실하면 원하는 집합은 얻을 수 없다.

반면,

어떤 사건, 기준, 조건만 분명하다면, 우리는 집합이라는 것을 만들수 있다.

이러한 집합중 당장 고려할 문제 원소를 모두 포함한 집합을 전체집합이라고 한다.

전체집합 (Universal set)

고려할 문제의 모든 원소를 포함하는 집합.

따라서 전제에 따라 전체집합이 주어진다.

U = { 1, 2, 3, 4 } 이렇게 단순히 주어질 경우도 있고, U = { x|x 는 모든 실수 } 이렇게 범위로 주어질 경우도 있다.

또한, 문제에서 모든 집합들은 전체집합의 부분집합이 된다. 만일, 전체집합 내에 존재하지 않는 원소를 가진 사례가 발생하는 경우는 없다.

여집합은 어떠한 집합에 대하여 그 원소들을 제외시킨다.

예를 들어 집합 A = { 1, 2, 3 } 과 전체집합 U = { 1, 2, 3, 4 } 가 있다. A의 여집합은 모든 원소에서 A원소를 제외한다. 이는 전체집합 U 차집합 A 의 결과와 같다.

반면 공집합은 원소가 아무것도 없는 집합이다.

자, 공집합의 여집합은 어떻게 될까?

나는 앞서 여집합과 차집합을 설명할때 뺀다라는 표현을 하지 않았다. 제외한다 혹은 이들을 보태면 완전한 하나의 집합이 된다고 하는 편이 어렵지만 나을지도 모른다고 생각했다. 여집합 (complement set)은 직역하면 보수집합이다. 어떤 집합에서 일부 원소를 보태면 더 큰 집합이 되기도 하고, 일부 원소를 제외하면 더 작은 집합이 되기도 한다.

공집합은 원소가 없다. 따라서 공집합의 여집합은 제외할 원소가 없다. 전체집합이 되는 것이다.

마찬가지로 전체집합의 여집합은 공집합이다. 전체집합의 모든 원소를 제외하면, 문제에서 다룰 원소는 남지 않게 된다.

부분집합은, 어떤 집합의 원소들 일부가 모여 만들어진 집합이다. 쉽게, 학교의 학생이라는 큰 집합에서 학년이라는 부분집합, 혹은 동아리라고 보면된다.

그런데 나아가 부분집합은 원소들 모두 포함하여 만들 수 있다.

만일, 동아리 부서를 개설했는데 아무도 동아리에 참여하지 않을 수도 있다. 동아리에 선생님뿐이다. 이 경우 학생이라는 전체집합에서 어떤 원소도 이 동아리 집합에 포함되지 않는다. 공집합인 것이다. 때문에 공집합도 부분집합이 된다.

진부분집합

부분집합 가운데 자기자신을 제외한 집합.

부분집합은 부분집합인데 자기자신을 제외하면 된다.

부분집합의 갯수는 어떻게 될까?

다만, 진부분집합은 자기자신을 제외하므로 하나를 뺀다.

교환법칙

(교집합 혹은 합집합으로만 이루어진 집합의) 연산에서 그 순서를 교환(바꾸어도)하여도 결과가 같다.

교집합 혹은 합집합으로 이어진 연산에서 이미 알고 있는, 또는 계산하기에 편리한 집합끼리 먼저 계산할 수 있다.

산술연산에서는 덧셈과 곱셈에 대하여 성립한다.

결합법칙

(교집합 혹은 합집합으로만 이루어진 집합의) 연산에서 괄호를 마음대로 결합하여도 그 결과는 같다.

괄호를 풀어도 성립하고, 원하는 부분을 먼저 계산해도 상관 없다.

산술연산에서는 덧셈과 곱셈에 대하여 성립한다.

분배법칙

(교집합과 합집합이 모두 포함된) 연산에서 서로다른 연산을 분배하여 전개한 식과 결과는 같다.

괄호 밖의 연산자와 괄호안의 값들이 각각 분배된다.

산술연산에서는 0으로만 나누지 않는다면, 모든 연산에 성립한다. (0으로 나눌수 없다.)

드 모르간의 법칙

논리합, 논리곱, 논리부정을 전개하는 방식이다. 집합에서는 논리부정인 여집합을 전개하는 방식이다.

합집합한 것의 여집합은 괄호가 풀리면서 여집합들을 교집합한 것이 되며,

교집합한 것의 여집합은 괄호가 풀리면서 여집합들의 합집합한 것이 된다.

드모르간의 법칙은 논리회로에도 성립하는 것이다.

아직 취업을 하지 못한 필자가 드모르간의 법칙을 논리회로로 논하기에는 전문성이 부족하다고 판단하기에, 일축하겠다.