[Math] 집합의 관계 1

앞서 우리는 집합과 원소가 무엇인지 보았다.

집합은 어떠한 기준으로 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임이다. 그리고 그 모임에 참석한 친구들이 원소라고 불린다.

자, 이번에는 집합의 포함관계를 이야기하려고 한다.

이를 가장 쉽게 표현하는 방법은 벤다이어그램이 있다.

벤 다이어그램

집합간의 관계를 표현한 다이어그램(그림)

벤다이어그램은 집합간의 관계를 표현한다.

원소와 집합. 집합과 집합. 원소의 갯수나 여러가지 이해관계를 설명하는데 좋은 방법이다.

집합은 각 원소와의 관계, 그리고 집합간의 관계가 중요하다.

• 합집합
• 교집합
• 차집합
• 여집합
• 부분집합과 같음
  
• 분배/교환법칙
• 드모르간의 법칙

우선 이번시간에는 합집합, 교집합, 차집합, 여집합을 정리해둔다.

가볍게 읽어보고 리마인드하는 시간을 갖자.

예를 들어보자.

시골에 어느 분교에 초등학생 7명이 있다. 음, 이름을 민지, 기쁨, 철호, 예지, 민우, 성훈, 혜리 라고 하자.

시골분교에 선생님으로 부임받은 교사 J 는 아이들에게 내일 맛있는 간식을 해주려고 한다. 고민하던 중, 자신이 선택하는 쪽보다는 아이들에게 선택하도록 맡기는 쪽이 좋겠다고 생각했다. 아이들은 떡볶이와 튀김중에 선택을 해야했다. 어떤 친구는 떡볶이를, 어떤친구는 튀김을 선택했다. 특이하게도 둘다 먹을 수 없냐는 아이도 있었고, 떡볶이도 튀김도 싫다고 대답한 친구도 있었다.

자, 이번에는 실생활에 충분히 있을 수 있는 일들이다.

두 가지 중 하나를 고르라고 하면, 반드시 하나를 고르는 아이도 있지만 그렇지 않을 수도 있다. 애초에 둘중에 고를수는 있었지만 누구도 꼭 둘 중 고르라고 강요는 하지 않았기 때문이다. 둘다 먹고 싶을 때, 당신은 어떠한가? 고민하다가 둘 중 하나만 먹는가? 아니면 그냥 둘 다 먹겠는가? 어쩌면 칼로리 때문에 둘 다 고민은 했지만 선택하지 않을 수도 있다.

우리는 먼저 시골의 어느 분교 초등학생 전체 집합을 U 라고 둔다.

또, 떡볶이를 선택한 아이들을 A, 튀김을 선택한 아이들을 B 라고 하자.

시골의 어느 분교 초등학생 전체 집합을 U = { 민지, 기쁨, 철호, 예지, 민우, 성훈, 혜리 } 이고,

이들중 떡볶이를 선택한 아이들의 집합 A = { 민지, 기쁨, 철호 },

튀김을 선택한 아이들의 집합 B = { 철호, 예지, 민우 } 라고 한다.

성훈과 혜리는 떡볶이도 튀김도 원하지 않았다. 교사 J는 둘의 대답을 원했지만 둘은 끝내 자신이 원하는 간식을 알려주지 않았다.

먼저 교사 J의 질문에 둘 중 선택을 하여 대답을 한 학생들은 모두 몇명일까?

떡볶이 또는 튀김이 좋다고 응답한 학생들 = { 민지, 기쁨, 철호, 예지, 민우 }. 모두 5명이다.

합집합 (Union)

여러개의 집합에서 합집합은 그들이 가진 원소들을 모두 가진 집합이다.

합집합은 두 집합 혹은 그 이상의 여러개의 집합에서 모든 원소들이 만드는 하나의 집합인 것이다.

주로 "~이거나 ~인", "~ 혹은 ~인", "~ 또는 ~" 이런식의 표현으로 쓰이거나 부등식의 형태로 볼 수 있다.

합집합은 각집합의 원소들을 모두 포함하는 것이므로 언제나 가장 원소의 갯수가 많은 집합보다 원소의 갯수가 많거나 같다.

자, 떡볶이와 튀김 둘 다 먹고 싶다고 한 학생은 누구일까?

철호이다.

교집합 (Intersection)

여러개의 집합에서 교집합은 그들의 공통된 원소만을 가지는 집합이다.

교집합은 두 집합 혹은 그 이상의 각 집합에서 속하는 공통된 원소들로만 만들 수 있는 하나의 집합인 것이다.

주로 "~이면서 ~인", "~하고 ~한", "~ 그리고 ~" 이런식으로 표현된다.

교집합은 각집합의 공통된 원소만을 고려하는 것이므로 언제나 가장 원소의 갯수가 작은 집합보다 원소의 갯수가 작거나 같다.

자, 그렇다면

떡볶이만을 대답한 학생은 누구일까? 

민지, 기쁨 이렇게 둘이다.

떡볶이를 원하는 사람은 세명이지만, 철호는 튀김도 좋다고 했으니 오로지 떡볶이를 원하는 것이 아니다.

차집합 (Relative complement)

집합의 원소들에서 특정 집합과 관계가 있는 모든 원소를 제외하여 만든 하나의 집합인 것이다.

차집합은 앞 집합의 원소에서 계산한다. 이들 중 뒤에오는 집합의 원소와 일치하는 것들을 제외한다. 그리고 남는 원소들로 집합을 이룬다.

교집합이나 합집합은 앞뒤 그 순서가 바뀌어도 결과는 같다. 그러나 차집합은 순서가 바뀌면 결과도 바뀔수 있다.

또, 차집합은 기호가 빼기이지만 영어로 Subtract 가 아니다. 관련되다 (Relative) + 보수 (complement) 의 합성이다. 관련되지 않는 것을 원소로 갖겠다는 느낌으로 가져가면 되겠다.

자, 그렇다면 

튀김을 선택하지 않은 학생은 누구일까?

튀김을 선택한 학생 철호, 예지, 민우 를 제외한 모두들이다.

여집합 (Complement set)

특정 집합의 원소들만 모두 제외하여 만든 하나의 집합인 것이다.

여집합은 전체집합에서 특정집합의 원소를 모두 제외한 나머지이다.

여기서 전체집합이란, 우리가 생각을 해보는 범위이다. 이 포스팅에서는 어느 시골분교 초등학생만을 다루므로 학생 7명이 전체집합의 모든 원소이다.

이들 중 집합 B(튀김을 선택한) 에 속한 학생들을 모두 제외하면 여집합을 구한 것이 된다.