[Math] 집합의 관계 2

지난시간 합집합, 교집합, 차집합, 여집합을 정리해두었다.

이번시간에는 집합의 포함관계, 부분집합, 곱집합, 집합족을 간단히 정리하고자 한다.

이야기를 풀기전에 예를 하나 들어보자.

집합 A = { x|x는 20의 약수 }, B = { 1, 2, 5, 10 } 이라고 하자.

포함관계 (Relative include)

- 어떤 집합과 특정 원소간의 관계

- 집합과 집합간의 관계

각 집합을 표현하는 방법에는 원소나열법 혹은 조건제시법을 사용한다.

그렇다면 예를 들어 1이 집합 A 의 원소가 될 수 있는지 생각해보자. 만일 될 수 있다면, 어떻게 표현할 수 있을까?

집합 A는 20의 약수이므로, A = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } 이다.

원소중에는 1이 있다. 기호로는 이렇게 표현한다.

1이라고 하는 원소는 집합 A에 포함된다라고 한다. (삼지창)

자, 다른 원소들도 연습해보자.

이렇게 나타낼 수 있을 것이다.

그런데 특별한 것은 집합 B의 모든 원소가 집합 A 원소 중에 있다. 집합 B는 10의 약수집합이다.

이번에는 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 포함될 수 있다.

이렇게 표현한다.

또한 집합 B는 집합 A에 포함된다라고 한다.

그리고 이렇게 포함될 수 있는 보다 작거나 같은 집합들을 부분집합이라고 한다.

부분집합 (Sub set)

어떤 집합 B의 원소가 모두 특정 집합 A에 포함될때, 집합 B를 부분집합이라고 한다.

sub 는 일부, 부분이라는 개념이다.

여기서 중요한 점은 포함되기만 하면 부분집합이라는 것이다.

즉, 집합 B가 집합 A와 같을 수도 있다. 집합B의 모든 원소가 집합 A의 모든 원소와 같아도 성립한다.

또, 집합은 원소가 없을 수도 있다.

이를 공집합이라 한다.

원소가 전부 포함되기만 하면 부분집합이다. 따라서 공집합은 모든 집합에 대하여 부분집합이 된다.

공집합 (Empty set)

원소가 없는 집합. 

- 서로소. 

- 모든 집합의 부분집합이다.

Empty 는 없다, 비었다 라는 느낌이다. 원소가 없다는 것이다.

집합족

모든 원소가 집합으로 이루어진 집합.

간혹 시험문제에서 만나게되는 재미있는 것들이 있다.

A = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } 은 원소들이 단지 숫자일 뿐이다.

그렇다면 C = { {1, 2}, {4, 5}, {10, 20} } 은 A 와 같을까?

이처럼 우리는 집합안에 집합을 볼 수 있다.

고등수학이라면, 다르다는 것까지만 알아두도록하자. 그 이상은 다루지 않는다. 

나는 프로그래머를 목표로 하므로 집합론은 중요하다고 생각한다.

우선 집합 A와 C 는 다르다. 또한 집합 B는 A의 부분집합이 될 수 있지만, C의 부분집합은 될 수 없다.

집합 C의 원소는 집합 C#1={ 1, 2 }, C#2={ 4, 5 }, C#3={ 10, 20 } 으로 3개뿐이다.

그리고 이렇게 원소가 모두 집합인 경우, 집합족이라고 부른다.

곱집합 (Product set)

집합간의 원소들로 만들어 낼 수 있는 모든 튜플(또는 묶음)을 나타낸다.

- 두 집합의 원소갯수를 곱한 만큼 원소가 생겨난다.

- 만들어지는 원소는 모두 집합이다.

- 유클리드 공간에서, 곱집합은 보다 높은 차원을 나타낼 수 있다.

예를들어 집합 A= { 1, 2, 4 }, B = { 1, 2 ,5 } 에서 

A x B = { {1,1}, {1,2}, {1,5}, {2,1}, {2,2}, {2,5}, {4,1}, {4,2}, {4,5} }

로 볼 수 있다.